Question

如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（0，-2），（0，8），以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．设x轴交半圆P于点E，交边CD于点F．
（1）求线段EF的长；
（2）连接BE，试判断直线BE与⊙P的位置关系，并说明你的理由；
（3）直线BE上是否存在着点Q，使得以Q为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与⊙P外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A，B两点坐标得出AB，CD的长，以及FD的长，再利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形的相似得出Rt△BOE∽Rt△EFP，进而得出∠OBE=∠FEP，求出∠BEP=90°即可；
（3）连接PQ，过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N，用r表示出QN，NP，PQ，从而求出即可．

解答：解：（1）连接PE，
∵A，B两点的坐标分别为（0，-2），（0，8），
以AB为一边作正方形ABCD，再以CD为直径的半圆P．
∴AB=CD=10，
∴PE=5，PF=3，
EF=

PE2-PF2

，
=

52-32

，
=4；

（2）证明：∵

BO

EF

=

8

4

=2， 

EO

PF

=

10-4

3

=2，∠BOE=∠EFP，
∴Rt△BOE∽Rt△EFP，
∴∠OBE=∠FEP，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
?∠FEP+∠OEB=90°，
?∠BEP=90°，
∴相切；

（3）连接PQ，过Q作QM⊥y轴于M，交CD于N，
∵⊙Q与⊙P外切，
∴PQ=r+5，
∵⊙Q与y轴相切，
∴QM=r，
∴QN=MN-QM=10-r，
∵MQ∥OE?△BMQ∽△BOE?

BM

BO

=

MQ

OE

?BM=

8×r

6

=

4r

3

，
∴NP=NF-PF=MO-PF=BO-BM-PF=5-

4

3

r，
在Rt△QNP中，QN²+NP²=PQ²?(10-r)2+(5-

4r

3

)2=(5+r)2?16r²-390r+900=0，
解得：r=

195± 23625

16

=

195±15 105

16

．
故r的值为：

195±15 105

16

．

点评：此题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、相切两圆的性质等知识，熟练地应用其性质用r表示出QN，NP，PQ是解题关键．