Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝x²＋1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．

(1)写出点M的坐标；

(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB＝OC＝4， 　　∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， 　　∴A，B的横坐标分别是2和–2， 　　代入y＝＋1得，A(2，2)，B(–2，2)， 　　∴M(0，2)，2分 　　(2)①过点Q作QH^ x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x–t， 　　由△HQP∽△OMC，得：，即：t＝x–2y， 　　∵Q(x，y)在y＝＋1上，∴t＝–＋x–2．2分 　　当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t＝–4，解得x＝1±， 　　当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝±2 　　∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数．2分 　　②分两种情况讨论： 　　1)当CM＞PQ时，则点P在线段OC上， 　　∵CM∥PQ，CM＝2PQ， 　　∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2＝2(＋1)，解得x＝0， 　　∴t＝–＋0–2＝–2．2分 　　2)当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上， 　　∵CM∥PQ，CM＝PQ， 　　∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即＋1＝2´ 2，解得：x＝±．2分 　　当x＝–时，得t＝–––2＝–8–， 　　当x＝时，得t＝–8．2分