Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（﹣2，0），∠OAB=90°，∠AOB=30°，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤150°），在旋转过程中，点A、B的对应点分别为点A′、B′．

（1）如图1，当α=60°时，直接写出点A′　 　、B′　 　的坐标；

（2）如图2，当α=135°时，过点B′作AB的平行线交AA′延长线于点C，连接BC，AB′．

①判断四边形AB′CB的形状，并说明理由，

②求此时点A′和点B′的坐标；

（3）当α由30°旋转到150°时，（2）中的线段B′C也随之移动，请求出B′C所扫过的区域的面积？（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，3），（0，4）；（2）①四边形AB′CB是平行四边形，详见解析；②A′（，），点B′（+，﹣）；（3）12

【解析】

（1）如图1中，作A′E⊥OB′于E．解直角三角形求出EO，A′E即可解决问题；

（2）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．只要证明B′C∥AB，B′C=AB；

②过点A′作A′E⊥x轴于E．过点B′作B′F⊥A′E于F，解直角三角形求出OE、EF、B′F即可；

（3）B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′，由此计算即可；

解：（1）如图1中，作A′E⊥OB′于E．

在Rt′△OA′B′中，∵∠A′OB′=30°，OA′=2，

∴cos30°=，

∴OB′=4，

∴B′（0，4），

在Rt△OA′E中，∵OA′=2，

∴A′E=，OE=A′E=3，

∴A′（﹣，3）．

故答案为（﹣，3），（0，4）．

（2）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．

理由：∵B′C∥AB，

∴∠B′CA=∠BAC，

∵∠BAC+∠CAO=90°，

∴∠B′CA′+∠CAO=90°，

又∵∠B′A′C+∠OA′A=90°，且旋转得到OA=OA′，则∠CAO=∠OA′A，

∴∠B′CA′=∠B′A′C，

∴B′C=B′A′，

又∵A′B′=AB，

∴B′C=AB，

∴四边形AB′CB是平行四边形．

②过点A′作A′E⊥x轴于E．

由A（﹣2，0），可得OA=2，

又∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，

∴AB=2，OB=4，则OA′=2，A′B′=2，

由∠AOA′=135°，得到∠A′OE=45°，

∴OE=A′E=OA′=，

∴点A′（，），

过点B′作B′F⊥A′E于F，

由∠EA′O=45°，得∠EA′B′=45°，

∴B′F=A′F=×2=，

∴EF=﹣，OE+B′F=+，

∴点B′（+，﹣）．

（3）如图3中，结合（2）知：

当时，，

上的高为

B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′=6×2=12．