题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，点O为AB中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q．（1）证明：△OMP∽△ONQ；
（2）若∠A=60°，AB=4．设点P的横坐标为x，PQ长为L．当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式及定义域；
（3）若∠A=60°，AB=4．当△PQC的面积为
时，试求CP的长．
【答案】分析：（1）根据∠OMC=∠ONQ=90°，∠MOP=∠NOQ，即可得出△OMP∽△ONQ；
（2）根据OM=AOsin60°=
，求出P纵坐标，设P（x，-
），PM=|x|，根据△BON≌△OAM，得出AM=ON，AM=AOcos60°=1，由相似得
=
=
，OP=
OQ，得出OP2和OQ2，即可求出L2，从而得出A和C点的坐标，最后求出L与x的函数关系式及定义域；
（3）根据PQ=L，得出CP=1-x和
，再根据PM=|x|，QN=
，得出CQ的值，最后根据S=
CQ•CP，得出x的值，即可求出CP的长；
解答：（1）证明：∵∠OMC=∠ONQ=90°，
∵∠MOP=90°-∠PON，∠NOQ=90°-∠PON
∴∠MOP=∠NOQ
∴△OMP∽△ONQ；
（2）解：AO=
=2，
OM=AOsin60°=
，
∴P纵坐标是-
，
P（x，-
），PM=|x|，
∵O是AB中点，
∴△BON≌△OAM，
∴AM=ON，
AM=AOcos60°=1，
由上面相似得
=
=
，
∴OP=
OQ，
OP2=OM2+MP2=3+x2
OQ2=
=
，
L2=
，
L=
，
CM=ON=AM=1
∴A（-1，-
），C（1，-
），
∴-1≤x≤1，
（3）解：PQ=L=
，
AC=2，
则CM=1，
∴CP=1-x，
∵
=
，
∴
=
，
PM=|x|，QN=
ON=
，
CN=OM=
，
∴CQ=QN+CN=
+
，
∴S=
CQ•CP=
（
+
）（1-x）=
，
x1=0，x2=1-
，
∵-1＜x＜1，
∴x=1-
，
CP=1-x=1-（1-
）=
．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据相似三角形的性质求出线段的长度，在计算时要注意x的取值范围．
（2）根据OM=AOsin60°=
，求出P纵坐标，设P（x，-
），PM=|x|，根据△BON≌△OAM，得出AM=ON，AM=AOcos60°=1，由相似得
=
=
，OP=
OQ，得出OP2和OQ2，即可求出L2，从而得出A和C点的坐标，最后求出L与x的函数关系式及定义域；（3）根据PQ=L，得出CP=1-x和
，再根据PM=|x|，QN=
，得出CQ的值，最后根据S=
CQ•CP，得出x的值，即可求出CP的长；解答：（1）证明：∵∠OMC=∠ONQ=90°，
∵∠MOP=90°-∠PON，∠NOQ=90°-∠PON
∴∠MOP=∠NOQ
∴△OMP∽△ONQ；
（2）解：AO=
=2，OM=AOsin60°=
，∴P纵坐标是-
，P（x，-
），PM=|x|，∵O是AB中点，
∴△BON≌△OAM，
∴AM=ON，
AM=AOcos60°=1，
由上面相似得
=
=
，∴OP=
OQ，OP2=OM2+MP2=3+x2
OQ2=
=
，L2=
，L=
，CM=ON=AM=1
∴A（-1，-
），C（1，-
），∴-1≤x≤1，
（3）解：PQ=L=
，AC=2，
则CM=1，
∴CP=1-x，
∵
=
，∴
=
，PM=|x|，QN=
ON=
，CN=OM=
，∴CQ=QN+CN=
+
，∴S=
CQ•CP=
（
+
）（1-x）=
，x1=0，x2=1-
，∵-1＜x＜1，
∴x=1-
，CP=1-x=1-（1-
）=
．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据相似三角形的性质求出线段的长度，在计算时要注意x的取值范围．
练习册系列答案
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