题目内容

已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．

解：作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=3 $\text{[math]}$ ，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=12 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ -x=9 $\text{[math]}$ -x，
在RT△CEF中，CE²=CF²+EF²，即x²=（9 $\text{[math]}$ -x）²+（3 $\text{[math]}$ ）²，
解得：x=5 $\text{[math]}$ ，
故可得sin∠BEC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AE=5 $\text{[math]}$ ；

（2）过点E作EM⊥OA于点M，

则S_△CDE=S_△AED= $\text{[math]}$ AD•EM= $\text{[math]}$ AD×AEsin∠EAM= $\text{[math]}$ AD•AE×sin45°= $\text{[math]}$ AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在RT△OCD中，OC²+OD²=CD²，即6²+（12-y）²=y²，
解得：y= $\text{[math]}$ ，即AD= $\text{[math]}$ ，
故S_△CDE=S_△AED= $\text{[math]}$ AD×AE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，设AE=CE=x，表示出EF、CF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理可求出x，继而可得出答案．
（2）过点E作EM⊥OA于点M，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在RT△OCD中，利用勾股定理求出y的值，然后根据S_△CDE=S_△AED= $\text{[math]}$ AD•EM= $\text{[math]}$ AD×AEsin∠EAM= $\text{[math]}$ AD•AE×sin45°= $\text{[math]}$ AD×AE可得出答案．
点评：本题考查了一次函数的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、翻折变换的性质及三角形的面积，解答本题的难点在第二问，注意设出未知数后利用未知数表示出其余未知线段，然后利用勾股定理求解，另外掌握三角形的面积可以表示为 $\text{[math]}$ absin∠C，（其中∠C是边a、b的夹角）．