题目内容
以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：
（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；
（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；
（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）△COB是等边三角形，连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形；
（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．
（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．
解答：解：（1）△COB是等边三角形；
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠DOB=90°，
又∵DC=BC∴OC=BC，
∴OC=BC=OB，
∴△COB是等边三角形；
（2）解：连接AD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=BC，
∴AD=AB=10，
∴AE=
=
=6，
∴EB=4；
又∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
∴△AEF∽△DEB，
∴
=
，
∴
=
，
∴EF=3；
（3）答；存在，
当△OEF和△ABC相似时，
①如图3，若∠FOE=∠CAB，则OF=AF，
又∵DE⊥AB，
∴OE=AE=
=
；
②如图4，若∠EOF=∠CBA，
则OF∥BD，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴OE=
，
综上所述：OE的长为
或
．
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠DOB=90°，
又∵DC=BC∴OC=BC，
∴OC=BC=OB，
∴△COB是等边三角形；
（2）解：连接AD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=BC，
∴AD=AB=10，
∴AE=
| AD2-DE2 |
| 102-82 |
∴EB=4；
又∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
∴△AEF∽△DEB，
∴
| EF |
| EB |
| AE |
| DE |
∴
| EF |
| 4 |
| 6 |
| 8 |
∴EF=3；
（3）答；存在，
当△OEF和△ABC相似时，
①如图3，若∠FOE=∠CAB，则OF=AF，
又∵DE⊥AB，
∴OE=AE=
| OA |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
②如图4，若∠EOF=∠CBA，
则OF∥BD，
∴
| OF |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴
| OF |
| BD |
| 1 |
| 4 |
∴
| OE |
| BE |
| OF |
| BD |
| 1 |
| 4 |
∴
| OE |
| OE+5 |
| 1 |
| 4 |
∴OE=
| 5 |
| 3 |
综上所述：OE的长为
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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