Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3。

（1）求直线BM的解析式；
（2）求过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形？若没有，请说明理由；若有，则求出一个符合条件的P点的坐标。

Answer 1

解（1）∵MO=MD=4，MC=3， ∴M、A、B的坐标分别为（0，4），（-4，0），（3，0） 设BM的解析式为y=kx+b， 则， ∴BM的解析式为； （2）设抛物线的解析式为， 则，解得a=b=-，c=4， ∴； （3）设抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形。 分别过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点。 过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H， ∴∠PMB=90°， ∴∠PMH=∠MBC， ∴△MPH∽△BMC， ∴PH∶HM=CM∶CB=3∶4， 设HM=4a（a>0），则PH=3a， ∴P点的坐标为（-4a，4-3a）， 将P点的坐标代入得： ， 解得a=0（舍去），， ∴P点的坐标为。