Question

如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC=10，AD=8，矩形面积为S，AD与HG交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据题意用含x的式子表示出AK，然后通过求证△AHG∽△ABC，根据对应边成比例，即可推出y与x的函数关系式；
（2）根据矩形的面积公式，则可推出S=xy，然后根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，即可推出x取何值时，S的值最大．

解答：解：（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD=GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC=10，AD=8，GF为x，HG为y．
∴AK=8-x，
∵AK：AD=GH：BC，
∴

8-x

8

=

y

10

，
∴y=-

5

4

x+10；

（2）∵S_矩形EFGH=GH•GF=xy=x•（-

5

4

x+10），
∴S=-

5

4

x2+10x，
∴x=-

b

2a

=4，
∴当x=4时，S的值最大．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数最值，关键是根据三角形相似，推出y关于x的函数表达式．