Question

已知边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，
（1）如图1，若AE⊥BF，求证：EA=FB；
（2）如图2，若∠EAF=45°，AE的长为

5

2

，试求AF的长度．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：几何图形问题

分析：（1）根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，进而得到∠BAE=∠CBF，则△ABE≌△BCF，进一步根据全等三角形的性质进行证明；
（2）延长CB至点G，使BG=DF，并连接AG和EF，先证△ABG≌△ADF（SAS），再证△AEG≌△AEF（SAS）；在RT△ABE中，根据勾股定理可求得BE=

1

2

，设线段DF长为x，则EF=GE=x+

1

2

，又CE=1-

1

2

=

1

2

，CF=1-x，最终在RT△ECF中，利用勾股定理得(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2，求得x=

1

3

，在Rt△ADF中，解得AF=

1+x2

=

10

3

．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABC=∠C ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF；
（2）如图，

延长CB至点G，使BG=DF，并连接AG和EF，
在△ABG和△ADF中，

AB=AD ∠ABC=∠D=90° GB=DF

∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠GAB=∠DAF
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠GAB=∠GAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE

∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴GE=EF；
在RT△ABE中，根据勾股定理得BE=

AE2-AB2

=

1

2

，
设线段DF长为x，则EF=GE=x+

1

2

，又CE=1-

1

2

=

1

2

，CF=1-x，
在RT△ECF中，由勾股定理得EF²=CE²+CF²
即(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2，
解得x=

1

3

，
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=

1+x2

=

10

3

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，注意问题的转化，巧作辅助线解决问题．