题目内容

观察下列各式：
（a-1）（a+1）=a2-1
（a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1
（a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a-a3-a2-a-1=a4-1
根据观察的规律，解答下列问题：
（1）填空：
①（a-1）（
 
）=a6-1；
②（a-1）（a11+a10+…+a+1）=
 
；
③（a-1）（an+an-1+an-2+…+a+1）=
 
．
（2）已知：1+22+24+26+…+22006+22008+22010=
1
3
×41006-
1
3

求：2+23+25+27+…+22007+22009的值．
分析：（1）本题需先根据已知条件，找出其中的规律，即可求出把①②③的答案．
（2）本题需先根据所给的条件，先算出1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010的值，即可求出本题的答案．
解答：解：（1）∵a-1）（a+1）=a2-1，
（a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1，
（a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a-a3-a2-a-1=a4-1，
∴①a5+a4+a3+a2+a+1；
②a12-1；
③an+1-1；
（2）解：因为（2-1）（1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010）=22011-1，
即1+2+22+23+24+…+22008+22009+22010=22011-1．
而1+22+24+26++22006+22008+22010=
1
3
×41006-
1
3
，
所以2+23+25+27++22007+22009=21011-1-(
1
3
×41006-
1
3
)
=22011-
1
3
×41006-
2
3
=
2
3
×41005-
2
3
．
故答案为：a5+a4+a3+a2+a+1，a12-1，an+1-1．
点评：本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要找出题中的规律是本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
猜想、探索规律
（1）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第100组应该有种子数．
 
粒；
（2）已知a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
15
，…，依据上述规律，则a99=
 
；
（3）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，那么第101个图案中由
 
个基础图形组成；
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（4）观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，根据观察计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
．
8、观察下列各式，1×3=22-1；3×5=42-1；5×7=62-1；7×9=82-1；…由此，想到此例包含的规律可以用下式（　　）表示．
24、观察下列各式：2×4=32-1，3×5=42-1，4×6=52-1，…，10×12=112-1，…，将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：
n（n+2）=（n+1）2-1
．
14、观察下列各式：
（1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72； …
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（　　）

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