题目内容
高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利(年获利＝年销售额－生产成本－投资)为z(万元)．
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)
(3)计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
(4)公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图像说明：第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内？
答案：
解析：
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(1)依题意知：当销售单价定为x元时，年销售量减少  (x－100)万件，∴y＝20－ (x－100)＝－ x＋30．
即 y与x之间的函数关系式是y＝－ x＋30．
(2)由题意，得 z＝(30－ x)(x－40)－500－1500＝－x2＋34x－3200．即z与x之间的函数关系式是z＝－x2＋34x－3200．
(3)∵当x＝160时，z＝－ ×1602＋34×160－3200＝－320
∴－ 320＝－x2＋34x－3200，整理，得x2－340x＋28800＝0，
解得 x1＝160，x2＝180．即同样的年获利，销售单价还可以定为 180元．当x＝160时，y＝－×160＋30＝14；
当 x＝180时，y＝－×180＋30＝12．
即相应的年销售量分别为 14万件和12万件．(4)∵z＝－ x2＋34x－3200＝－(x－170)2－310．
∴当 x＝170时，z取最大值，为－310，即当销售单价定为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．第二年的销售单价定为 x元时，年获利为：z＝(30－ x)(x－40)－310＝－x2＋34x－1510．
当 z＝1130时，即1130＝－x2＋34x－1510，整理得x2－340x＋26400＝0，解得：x1＝120，x2＝220，函数z＝－x2＋34x－1510的图像大致如图所示．由图像可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．
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