题目内容
如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部分，但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分？用实验或说理的方法，给予探索并得出结论。
解：不是。
理由：如图，
过G作直线EF∥AB，交AC于E、BC于F，
设直线AG与BC的交点为M，过M作MN∥EF，交AC于N。
∵G是△ABC的内心，
∴BM=MC，AG=2GM。
∵GE∥MN，
∴
，即AE=
AN。
∵BM=MC，即M是BC的中点，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，即AN=NC。
∴AE=
AN=
NC。
设AE=2x，则AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x。
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴
=（
）2=
，
故S△CEF：S四边形AEFB=4：5。
因此过G点的任意一条直线不是都能把△ABC分成面积相等的两部分。
理由：如图，
过G作直线EF∥AB，交AC于E、BC于F，
设直线AG与BC的交点为M，过M作MN∥EF，交AC于N。
∵G是△ABC的内心，
∴BM=MC，AG=2GM。
∵GE∥MN，
∴
，即AE=AN。∵BM=MC，即M是BC的中点，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，即AN=NC。
∴AE=
AN=NC。设AE=2x，则AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x。
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴
=（）2=，故S△CEF：S四边形AEFB=4：5。
因此过G点的任意一条直线不是都能把△ABC分成面积相等的两部分。
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