题目内容

已知二次函数y=x²-x+c
（1）若点A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，求此二次函数的最小值．
（2）若点D（x₁、y₁）、E（x₂、y₂）在抛物线y=x²-x+c上，且D、E两点关于原点成中心对称，求直线DE的函数关系式．
（3）若点P（m，m）（m＞0）在抛物线y=x²-x+c上，连接PO，当 $数学公式$ ≤PO≤ $数学公式$ +2时，试判断（2）中的直线DE与抛物线y=x²-x+c+ $数学公式$ 的交点个数，并说明理由．

解：（1）由题意得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴有y=x²-x-1，
=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ．
∴二次函数y=x²-x-1的最小值是- $\text{[math]}$ ；

（2）解法1：
∵点D、E关于原点成中心对称，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴2y₁=-2x₁，y₁=-x₁．
设直线DE：y=kx．
有-x₁=kx₁．
由题意，存在x₁≠x₂．
∴存在x₁，使x₁≠0．
∴k=-1．
∴直线DE：y=-x．
解法2：设直线DE：y=kx．
则根据题意有kx=x²-x+c，即x²-（k+1）x+c=0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有实数根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直线DE：y=-x；

（3）∵点P（m，m）（m＞0），
∴PO= $\text{[math]}$ m．
∴2 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ m≤ $\text{[math]}$ +2．
∴2≤m≤1+ $\text{[math]}$ ．
∵点P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，
∴m=m²-m+c，即c=-m²+2m．c是关于m的二次函数
∵此抛物线开口向下，且对称轴m=1，
∴当2≤m≤1+ $\text{[math]}$ 时，c随着m的增大而减小
∴-1≤c≤0．
对于方程组 $\text{[math]}$ 消去y，则有x²+c+ $\text{[math]}$ =0．即x²=-c- $\text{[math]}$ ．
①当-c- $\text{[math]}$ =0时，即c=- $\text{[math]}$ 时，方程x²=-c- $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+ $\text{[math]}$ 有唯一交点．
②当-c- $\text{[math]}$ ＞0时，即c＜- $\text{[math]}$ 时，即-1≤c＜- $\text{[math]}$ 时，
方程x²=-c- $\text{[math]}$ 有两个不等实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+ $\text{[math]}$ 有两个不同的交点．
③当-c- $\text{[math]}$ ＜0时，即c＞- $\text{[math]}$ 时，即- $\text{[math]}$ ＜c≤0时，
方程x²=-c- $\text{[math]}$ 没有实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+ $\text{[math]}$ 没有交点．
分析：（1）根据点A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，直接代入函数解析式求出即可；
（2）根据点D、E关于原点成中心对称，得出x₂=-x₁，y₂=-y₁，进而求出2y₁=-2x₁，y₁=-x₁，即可得出k的值；
（3）根据点P（m，m）（m＞0），PO= $\text{[math]}$ m，得出2 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ m≤ $\text{[math]}$ +2，进而得出-1≤c≤0，再分别分析当-c- $\text{[math]}$ =0时，当-c- $\text{[math]}$ ＞0时，当-c- $\text{[math]}$ ＜0时，得出方程的根的情况．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法，以及分类讨论思想的应用．