Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B．

(1)若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，直线的解析式为y＝x+3；(2)当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；(3)P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．

【解析】

先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

设直线BC与对称轴的交点为M，则此时的值最小把代入直线得y的值，即可求出点M坐标；

设，又因为，，所以可得，，，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

解：(1)依题意得：，

解之得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3

∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A(1，0)，

∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx+n，

得 ，

解之得：，

∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；

(2)设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，

∴M(﹣1，2)，

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；

(3)设P(﹣1，t)，

又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，

∴BC2＝18，PB2＝(﹣1+3)2+t2＝4+t2，PC2＝(﹣1)2+(t﹣3)2＝t2﹣6t+10，

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；

综上所述P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．