Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D、E分别是BC的三等分点，F、G、H分别是AB的四等分点，则CF、DG和EH的长度之和为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理

专题：

分析：过F作FQ⊥AC于Q，证△AQF∞△ACB，推出

AQ

AC

=

QF

BC

=

AF

AB

=

1

4

，求出AQ、QF、求出CQ，关键勾股定理求出CF，再求出DG、HE，即可求出答案．

解答：解：
过F作FQ⊥AC于Q，
则∠AQF=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠AFQ=45°，
∴AQ=QF，
∵∠AQF=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AQF∞△ACB，
∴

AQ

AC

=

QF

BC

=

AF

AB

=

1

4

，
∵AC=BC=2，
∴AQ=QF=

1

2

，
∴CQ=2-

1

2

=

3

2

，
在Rt△CQF中，由勾股定理得：CF=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=

10

2

，
∵D、E分别是BC的三等分点，F、G、H分别是AB的四等分点，
∴EH∥DG∥CF，
∴

EH

CF

=

1

3

，

DG

CF

=

2

3

，
解得：EH=

1

3

×

10

2

=

10

6

，DG=

2

3

×

10

2

=

10

3

，
∴CF+EH+DG=

10

2

+

10

6

+

10

3

=

10

，
故答案为：

10

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出CF的长，题目是一道比较典型的题目，有一定的难度．