题目内容

已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE= $数学公式$ ，求DB和DE的长．

解：连接OD，BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAE=∠DCB，
∵AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，
∴DB=2DM，弧AD=弧AB，
∴∠1=∠2，AD=AB；
又∠3=2∠1，
∴∠3=∠BCD=∠DAE．
∴tan∠3=tan∠DAE= $\text{[math]}$ ，
∵AC=10，
∴OD=5；
在Rt△ODM中，设DM=4x，得OM=3x，
由勾股定理，得DM²+OM²=OD²．
∴（4x）²+（3x）²=5²．取正数解，得x=1，
∴OM=3x=3，DM=4x=4，
∴DB=2DM=8．
∵OM=3，
∴AM=OA-OM=2．
在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
∵ED是⊙O的切线，
∴∠EDA=∠EBD；
又∠BED为公用角，
∴△EDA∽△EBD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EA= $\text{[math]}$ DE．
∵DE²=EA•EB=EA（EA+AB）=EA（EA+AD）=EA²+EA•AD．
∴DE²=（ $\text{[math]}$ ED）²+ $\text{[math]}$ DE•2 $\text{[math]}$ ．
解关于DE的方程，得DE= $\text{[math]}$ ．
分析：连接OD，先根据圆内接四边形的性质得到∠DAE=∠DCB，再根据圆中的基本性质求出tan∠DOA=tan∠DAE= $\text{[math]}$ ，利用Rt△AMD中的勾股定理，得AD=2 $\text{[math]}$ ．易证EDA∽△EBD，利用相似比 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 求出EA= $\text{[math]}$ DE．用DE²=EA²+EA•AD作为相等关系解关于DE的方程，可得DE= $\text{[math]}$ ．
点评：主要考查了切线的性质和圆内接四边形的性质．要掌握这些基本性质并能准确的作出辅助线找到所求的未知量与已知条件之间的间接联系，能灵活地运用直角三角形的性质求解．