Question

如图，Rt△ABC中，E、D、F分别在AB、BC、AC上，且四边形AEDF是正方形．已知CD=8，BD=12，则阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：设正方形AEDF的边长为a，由四边形AEDF为正方形，∠BAC=90°，得DF∥AB，得到△CDF∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF与BF的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a²，再利用三角形的面积公式得S_阴影部分=

1

2

•CF•DF+

1

2

•DE•BE，代入计算即可得到阴影部分的面积．

解答：解：设正方形AEDF的边长为a，
∵四边形AEDF为正方形，∠BAC=90°，
∴DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴△CDF∽△DBE，
∴

8

12

=

a

BE

=

CF

a

，
∴BE=

3a

2

，CF=

2a

3

，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即12²=a²+（

3a

2

）²，
解得a²=

576

13

，
∴S_阴影部分=

1

2

•CF•DF+

1

2

•DE•BE=

1

2

（

3a2

2

+

2a2

3

）=

1

2

×

13

6

×

576

13

=48．
故答案为48．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积公式．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．