Question

【题目】在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD

(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,易证AD+BA＝AC

(2)如图2,若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.

(3)如图3,若∠DAB=90°,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；(3)AC=AD+AB,AD+AB=AC.

【解析】

（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB= AC即可解决问题；

（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；

（3）结论：AD+AB= AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；

(1)AC=AD+AB.

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°,∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB= AC,同理AD=AC.

∴AC=AD+AB.

(2)(1)中的结论成立,理由如下：以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠B=180°,∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB.

(3)结论：AD+AB=AC.理由如下：

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°.

∴AC=CE.

又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AD+AB=AE.

在Rt△ACE中,∠CAB=45°，

∴AE= =AC，

∴AD+AB=AC.