Question

（1）如图1，在等边三角形ABCD中，M是BC上任意一点，以M为顶点，AM为一边，作∠AMN=∠B．在MN上截取MP=AM，连接CP，求∠MCP的度数．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，M是BC上任意一点，以M为顶点，AM为一边，作∠AMN=∠B．在MN上截取MP=AM，连接CP，求∠MCP的度数．
（3）若将正方形或等边三角形变为正五边形，其他条件不变，如图3，则∠MCP=

144°

．
（4）若将正方形或等边三角形变为正n边形，其他条件不变，则∠MCP=

（180-

180

n

）°

（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，证△BAM≌△WMP，推出AB=BC=MW，BM=PW，推出PW=WC=BM，求出∠PCW，即可求出答案．
（2）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，证△BAM≌△WMP，推出AB=BC=MW，BM=PW，推出PW=WC=BM，求出∠PCW，即可求出答案．
（3）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，证△BAM≌△WMP，推出AB=BC=MW，BM=PW，推出PW=WC=BM，求出∠PCW，即可求出答案．
（4）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，证△BAM≌△WMP，推出AB=BC=MW，BM=PW，推出PW=WC=BM，求出∠PCW，即可求出答案．

解答：
解：（1）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，∠AMP=∠B，
∴AB=BC，∠B=∠PWC=∠AMP=90°，
∴∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠PMW=180°-90°=90°，
∴∠BAM=∠WMP，
在△ABM和△MWP中

∠B=∠PWM ∠BAM=∠WMP AM=MP

∴△ABM≌△MWP（AAS），
∴BM=PW，AB=MW=BC，
∴BC-BM=MW-CM，
∴BM=CW=PW，
∵∠PWC=90°，
∴∠PCW=∠WPC=45°，
∴∠MCP=180°-∠PCW=180°-45°=135°；

（2）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，如图2，
∵△ABC是等边三角形，∠AMP=∠B，
∴AB=BC，∠B=∠PWM=∠AMP=60°，
∴∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠PMW=180°-60°=120°，
∴∠BAM=∠WMP，
在△ABM和△MWP中

∠B=∠PWM ∠BAM=∠WMP AM=MP

∴△ABM≌△MWP（AAS），
∴BM=PW，AB=MW=BC，
∴BC-BM=MW-CM，
∴BM=CW=PW，
∵∠PWC=60°，
∴∠PCW=∠WPC=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠MCP=180°-∠PCW=180°-60°=120°；

（3）在BQ上取一点W，使∠PWM=∠B，如图3，
∵五边形ABCDE是正五方形，∠AMP=∠B=

(5-2)×180°

5

=108°，
∴AB=BC，∠B=∠PWC=∠AMP=108°，
∴∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠PMW=180°-108°=72°，
∴∠BAM=∠WMP，
在△ABM和△MWP中，

∠B=∠PWM ∠BAM=∠WMP AM=MP

，
∴△ABM≌△MWP（AAS），
∴BM=PW，AB=MW=BC，
∴BC-BM=MW-CM，
∴BM=CW=PW，
∵∠PWC=108°，
∴∠PCW=∠WPC=

1

2

（180°-108°）=36°，
∴∠MCP=180°-∠PCW=180°-36°=144°，
故答案为：144°；

（4）∵正n边形ABCDE…是正n方形，∠AMP=∠B=

(n-2)×180°

n

，
∴AB=BC，∠B=∠PWC=∠AMP=

(n-2)×180°

n

，
∴∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠PMW=180°-∠B，
∴∠BAM=∠WMP，
在△ABM和△MWP中，

∠B=∠PWM ∠BAM=∠WMP AM=MP

，
∴△ABM≌△MWP（AAS），
∴BM=PW，AB=MW=BC，
∴BC-BM=MW-CM，
∴BM=CW=PW，
∵∠PWC=

(n-2)×180°

n

，
∴∠PCW=∠WPC=

1

2

[180°-

(n-2)×180°

n

]，
∴∠MCP=180°-∠PCW=180°-

1

2

[180°-

(n-2)×180°

n

]=90°+

(n-2)×90°

n

=（180-

180

n

）°，
故答案为：（180-

180

n

）°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正n边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．