题目内容

如图，Rt△ABC置于平面直角坐标系中，使直角顶点B与坐标原点O重合，边AB、BC分别落在y轴、x轴上，AB=9，CB=12．直线y=- $数学公式$ +4交y轴、y轴分别于点D、E．点M是斜边AC上的一个动点，连接BM．点P是线段BM上的动点，始终保持∠BPE=∠BDE．
（1）直接写出点D和点E的坐标；
（2）证明：∠BPE=∠ACB；
（3）设线段OP的长为y个单位，线段OM的长为x个单位，请你写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）请你求出线段OP长度的最大值．

解：（1）∵直线y=- $\text{[math]}$ +4交y轴、y轴分别于点D、E．
∴当x=0时，y=4．当y=0时，0=- $\text{[math]}$ +4，即x=0，
∴D（0，4），E（3，0）；

（2）∵AB=9，CB=12，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵D（0，4），E（3，0），
∴OD=4，OE=3，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴∠ACB=∠EDB．
又∵∠BPE=∠BDE，
∴∠BPE=∠ACB；

（3）∵∠BPE=∠ACB，∠PBE=∠CBM，
∴△BMC∽△BEP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ．
当OM⊥AC时，OM最短．
AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =15．
S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•OM= $\text{[math]}$ AB•BC，即15•OM=9×12，
∴OM= $\text{[math]}$ ，
∴自变量x的取值范围是 $\text{[math]}$ ≤x＜12；

（4）由（3）知，OP、OM之间，即y与x之间的函数关系式是y= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ≤x＜12）．
∵反比例函数y= $\text{[math]}$ 位于第一象限，
∴y的值随x的增大而减小，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，y取最大值，y_最大= $\text{[math]}$ =5．即线段OP长度的最大值是5．
分析：（1）根据直线方程y=- $\text{[math]}$ +4来求点D、E的坐标；
（2）由坐标与图形的特点证得△ABC∽△EOD，则相似三角形的对应角∠ACB=∠EDO；然后结合已知条件“∠BPE=∠BDE”，利用等量代换证得∠BPE=∠ACB；
（3）由相似三角形（△BMC和△BEP）的对应边成比例可以写出y与x之间的函数关系式y= $\text{[math]}$ ；当OM⊥AC时，OM最短．所以利用勾股定理、三角形的面积公式求得OM= $\text{[math]}$ ，当点M与点C重合时，OM取最大值12；
（4）由（3）中反比例函数y= $\text{[math]}$ 的增减性知，当x取最小值 $\text{[math]}$ 时，y取最大值．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象的性质等知识点．在证明三角形相似的题目时，注意充分利用“公共边、公共角”等隐含性的条件．