Question

如图，在坐标系中，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点．
①试根据图象求k的值；
②P为y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点P所有可能的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：①利用点A在直线y=-x上确定A点坐标，然后把A点坐标代入y=

k

x

即可求出k的值；
②设P（0，t），而B点坐标为（1，-1），分类讨论：当∠PAB=90°，则PA²+AB²=PB²；当∠PBA=90°，则PB²+AB²=PA²；当∠APB=90°，则PA²+PB²=AB²，然后利用两点间的距离公式列出关于t的3个方程，再解方程求出t即可得到P点坐标．

解答：解：①把x=-1代入y=-x得y=1，
∴A的坐标是（-1，1），
把A（-1，1）代入y=

k

x

得k=-1×1=-1；
②∵点A与点B关于原点中心对称，
∴B点坐标为（1，-1），
∴AB=2

2

，
设P点坐标为（0，t），
当∠PAB=90°，则PA²+AB²=PB²，即1²+（t-1）²+（2

2

）²=1²+（t+1）²，解得t=2；
当∠PBA=90°，则PB²+AB²=PA²，即1²+（t+1）²+（2

2

）²=1²+（t-1）²，解得t=-2；
当∠APB=90°，则PA²+PB²=AB²，即1²+（t-1）²+1²+（t+1）²=（2

2

）²，解得t=±

2

∴点P的所有可能的坐标是（0，

2

），（0，-

2

），（0，2），（0，-2）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了分类讨论的思想和两点间的距离公式．