题目内容
若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是
-5
-5
．分析：将a+b=c，b+c=d，c+d=a，看成关于a，b，c、d四元一次一次方程组，解得a+b+c+d=-5b．∵b是正整数，∴-b的最大值是-1，∴a+b+c+d的最大值是-5．
解答：解：∵a+b=c，①
b+c=d，②
c+d=a，③
由①+③，得
（a+b）+（c+d）=a+c，
∴b+d=0，④
b+c=d；⑤
由④+⑤，得
∴2b+c=b+d=0，
∴c=-2b；⑥
由①⑥，得
∴a=c-b=-3b，⑦
由④⑥⑦，得∴a+b+c+d=（a+c）+（b+d）=a+c=-5b；
∵b是正整数，
∴b≥1，
∴-b≤-1，
∴a+b+c+d≤-5，
∴a+b+c+d的最大值是-5．
故答案为：-5．
b+c=d，②
c+d=a，③
由①+③，得
（a+b）+（c+d）=a+c，
∴b+d=0，④
b+c=d；⑤
由④+⑤，得
∴2b+c=b+d=0，
∴c=-2b；⑥
由①⑥，得
∴a=c-b=-3b，⑦
由④⑥⑦，得∴a+b+c+d=（a+c）+（b+d）=a+c=-5b；
∵b是正整数，
∴b≥1，
∴-b≤-1，
∴a+b+c+d≤-5，
∴a+b+c+d的最大值是-5．
故答案为：-5．
点评：本题考查了函数的最值问题．解答此题的难点是通过已知条件a+b=c，b+c=d，c+d=a来求a+b+c+d=-b．
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