题目内容

24、二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0）它的图象与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，其中m＜n，与y轴交于点C（0，t）
（1）若它的图象的顶点为P，点P的坐标为（2，-1），点C在x轴上方，且点C到x轴的距离为3，求A，B，C三点的坐标；（要求写出过程）
（2）若m，n，t都是整数，且 0＜m＜6，0＜n＜6，0＜t≤6，△ABC的面积为6，试写出一个满足条件的二次函数的解析式
y=（x-2）2-1
 （只要求写出结果，不要求写出过程），并在直角坐标系中（下图），画出你所填二次函数的图象，且标出相应A，B，C三点的位置．
分析：（1）根据题意可得出t=3，再将顶点为P的坐标为（2，-1）和点C的坐标代二次函数y=ax2+bx+c，即可得出答案；
（2）根据面积得出ABC的坐标，再画出图形即可．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，
∵顶点为P的坐标为（2，-1），∴h=2，k=-1；
又∵点C在x轴上方，且点C到x轴的距离为3，
∴t=3，
将（0，3）代入y=a（x-2）2-1，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2-1，
∴A（1，0），B（3，0），点C（0，3）；
（2）
点评：本题考查了抛物线和x轴的交点，二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数的解析式．
练习册系列答案
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如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴交于精英家教网点C(0，
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)，当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数y=ax2+bx+c，当x=
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时，有最大值25，而方程ax2+bx+c=0的两根α、β，满足α3+β3=19，求a、b、c．
如果二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），且直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3，求这个二次函数解析式．
如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确结论的序号是
②③④
②③④
．
（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是
①②③
①②③
（把正确的序号都填上）．

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