Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S₁和S₂．
（1）求证：S₁+S₂=S_△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+

6

，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．

Answer 1

分析：（1）根据题给图形可知：S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC，又在Rt△ABC中BC²+AC²=AB²，继而即可得出答案；
（2）要求阴影部分的面积求出Rt△ABC的面积即可，也即求出

1

2

AC•BC即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，有BC²+AC²=AB²…（1分）
∴S₁+S₂=

1

2

π（

1

2

AC）²+

1

2

π（

1

2

BC）²-

1

2

π（

1

2

AB）²+S_△ABC
=

1

8

π（BC²+AC²-AB²）+S_△ABC=S_△ABC．…（4分）
（2）∵AB+AC+BC=2+

6

，AB=2，
∴AC+BC=

6

．…（5分）
两边平方得：AC²+BC²+2AC•BC=6，
又AC²+BC²=AB²=4，
∴2AC•BC=2，AC•BC=1．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

．
∴图中阴影部分面积的和为

1

2

．…（8分）

点评：本题考查勾股定理的知识，解题关键是找出各个图形之间的关系，证得S₁+S₂=S_△ABC，难度一般．