Question

20、如图，直径为13的⊙O‘经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在⊙O‘上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系写出OA+OB和OA•OB的值．连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径，再结合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，则三角形OCB相似于三角形DCO，则∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，则∠CBO=∠CBA，所以点C是弧OA的中点．连接O′C，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA．再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
（3）连接OD，根据S_△ABD=2S_△OBD．则需S_△POD=2S_△OBD．显然是不可能的．

解答：解：（1）连接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根据勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，∴k=±17（正值舍去）．
则有方程x²-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．
（2）若OC²=CD•CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点E，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，
根据垂径定理，得OE=6，
根据勾股定理，得O′E=2.5，
∴CE=4，即C（6，-4）．
（3）连接OD，根据S_△ABD=2S_△OBD，
则需S_△POD=2S_△OBD，
显然是不可能的．

点评：综合运用了相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、勾股定理以及垂径定理及其推论．