题目内容
如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：| 3 |
（1）若修建的斜坡BE的坡度为1：0.8，则平台DE的长为
14.0
14.0
米；（2）斜坡前的池塘内有一座建筑物GH，小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HEM）为30°，测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°（即∠H′EM），测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的长．
分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；
（2）首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案．
（2）首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案．
解答：解：（1）∵FM∥CG，
∴∠BDF=∠BAC=30°，
∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，
∴BD=30米，
∴DF=BD•cos∠BDF=30×
=15
≈25.98（米），BF=BD•sin∠BDF=30×
=15（米），
∵斜坡BE的坡度为1：0.8，
∴
=
，
解得：EF=12（米），
∴DE=DF-EF=25.98-12≈14.0（米）；
故答案为：14.0；
（2）设GH=x米，
则MH=GH-GM=x-15（米），GH′=GH=x米，MH′=GH′+GM=x+15（米），
在Rt△EMH中，tan30°=
=
，
在Rt△EMH′中，tan45°=
=1，
∴
=
，
即
=
，
解得：x=56.0，
即GH=56.0米，
∵∠BEF=∠DEH′=45°，
∴EF=BF=15（米），
∴EM=MH′=x+15=71.0（米），
∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0（米），
∴CG=FM=86.0米，
∵AC=AB•cos30°=60×
=30
≈52.0（米），
∴AG=CG-AC=86.0-52.0=34.0（米）．
答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米．
∴∠BDF=∠BAC=30°，
∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，
∴BD=30米，
∴DF=BD•cos∠BDF=30×
| ||
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵斜坡BE的坡度为1：0.8，
∴
| BF |
| EF |
| 1 |
| 0.8 |
解得：EF=12（米），
∴DE=DF-EF=25.98-12≈14.0（米）；
故答案为：14.0；
（2）设GH=x米，
则MH=GH-GM=x-15（米），GH′=GH=x米，MH′=GH′+GM=x+15（米），
在Rt△EMH中，tan30°=
| MH |
| EM |
| ||
| 3 |
在Rt△EMH′中，tan45°=
| MH′ |
| EM |
∴
| MH |
| MH′ |
| ||
| 3 |
即
| x-15 |
| x+15 |
| ||
| 3 |
解得：x=56.0，
即GH=56.0米，
∵∠BEF=∠DEH′=45°，
∴EF=BF=15（米），
∴EM=MH′=x+15=71.0（米），
∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0（米），
∴CG=FM=86.0米，
∵AC=AB•cos30°=60×
| ||
| 2 |
| 3 |
∴AG=CG-AC=86.0-52.0=34.0（米）．
答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米．
点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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