题目内容

在平面直角坐标系中，M是双曲线 $数学公式$ （x＜0）上一点，把双曲线 $数学公式$ （x＜0）关于y轴作对称，点M的对称点为N，N点坐标为（m，6），作NA⊥x轴于A，NB⊥y轴于B．
（1）如图1，以OA为一边在四边形OANB内部作等边△OAC，求点C的坐标；
（2）在（1）的前提下，在平面内找到点D，使以O、C、N、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标；
（3）如图2，若在四边形BOAN内部有一点P，满足∠PBN=∠PNB=15°，连接PO、PA．求证：△POA为等边三角形．

解：（1）过C作CG⊥OA，交OA于点G，交BN于点H，如图1所示，
由对称性得到过点N的反比例解析式为y= $\text{[math]}$ ，
将N（m，6）代入反比例解析式得：6= $\text{[math]}$ ，
解得：m=6，
∴N（6，6），即NB=NA=6，
∵NB⊥y轴，NA⊥x轴，BO⊥AO，
∴四边形AOBN为边长是6的正方形，
∵△AOC为等边三角形，
∴OC=OA-AC=6，OG=AG=3，
在Rt△OCG中，根据勾股定理得：CG= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
则C（3， $\text{[math]}$ ）；

（2）分三种情况考虑，如图1所示：四边形OCND₁，四边形OND₂C，四边形ONCD₃为平行四边形，
根据题意得：CN=OD₁，又HN=OG=3，
∴Rt△CHN≌Rt△D₁GO（HL），
∴D₁G=CH=HG-CG=6-3 $\text{[math]}$ ，
此时D₁（3，6-3 $\text{[math]}$ ），
根据题意得到N为D₁D₂的中点，O为D₁D₃的中点，N（6，6），O（0，0），
∴D₂（9，6+3 $\text{[math]}$ ），D₃（-3，3 $\text{[math]}$ -6）；
（3）∵∠PBN=∠PNB=15°，
∴PB=PN，∠PBO=∠PNA=75°，
∵四边形AOBN为正方形，
∴OB=AN，
∵在△BPO和△NPA中，
$\text{[math]}$ ，
∴△BPO≌△NPA（SAS），
∴OP=PA，
在四边形BOAN外部做等边△BNQ，连接PQ，如图2所示，
∴∠QBN=∠QNB=60°，QB=QN=BN=OB=NA，
∴∠OBP=∠QBP=∠QNP=75°，
∵在△QBP和△OBP中，
$\text{[math]}$ ，
∴△QBP≌△OBP（SAS），
同理得到△QNP≌△ANP，
∴∠QPB=∠OPB=∠QPN=∠APN=75°，
∴∠OPA=60°，
则△AOP为等边三角形．
分析：（1）过C作CG⊥OA，交OA于点G，交BN于点H，如图1所示，由对称性得到过N双曲线的解析式，求出m的值，确定出N坐标，可得出四边形AOBN为边长是6的正方形，由三角形AOC为等边三角形，利用三线合一得到G为OA的中点，求出OG的长，利用勾股定理求出CG的长，即可确定出C的坐标；
（2）这样的点D有三个位置，如图1所示，根据HN=OG，CN=OD₁，利用HL得到三角形CHN与三角形OGD₁全等，得到D₁G=CH=HG-CG，求出D₁的坐标，根据此时N为D₁D₂的中点，O为D₁D₃的中点，利用线段中点坐标公式求出D₂与D₃的坐标即可；
（3）由已知的一对角相等，利用等边对等角得到一对边BP=NP，过四边形AOBN外做一个等边三角形BNQ，连接PQ，可得出BQ=NQ=BN=BO=AN，∠QBN=∠QNB=60°，求出∠QBP=∠OBP=75°，再由BP为公共边，利用SAS得到三角形QBP与三角形OBP全等，由全等三角形的对应边相等得到OP=PQ，同理三角形NQP与三角形APN全等，得到AP=PQ，可得出OP=AP，同时得到∠OBP=∠QBP=∠QNP=75°，求出∠OPA=60°，即可确定出三角形AOP为等边三角形．
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．