如图.在平面直角坐标系中.四边形OABC的顶点O是坐标原点.点A的坐标为.点C的坐标为.点M.N分别为四边形OABC边上的动点.动点M从点O开始.以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动.动点N从O点开始.以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动.点M.N同时从O点出发.当其中一点到达终点后.另一点也随之停止运动.设动点运动的时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（-2$\sqrt{5}$，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．
（1）填空：AB的长是10，BC的长是6；
（2）当t=3时，求S的值；
（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；
（4）若S=$\frac{48}{5}$，请直接写出此时t的值．

分析（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；
（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12-2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出$\frac{BN}{BC}$=$\frac{BG}{BF}$，即$\frac{12-2t}{6}$=$\frac{BG}{4}$，可得BG=8-$\frac{4}{3}$t，由此即可解决问题；
（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE=$\frac{OB•OA}{AB}$=$\frac{24}{5}$，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；

解答解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
BC=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
故答案为10，6．

（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．

∵C（-2$\sqrt{5}$，4），
∴CE=4OE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△COE中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
当t=3时，点N与C重合，OM=3，
∴S_△ONM=$\frac{1}{2}$•OM•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
即S=6．

（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12-2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．

∵OF=4，OB=8，
∴BF=8-4=4，
∵GN∥CF，
∴$\frac{BN}{BC}$=$\frac{BG}{BF}$，即$\frac{12-2t}{6}$=$\frac{BG}{4}$，
∴BG=8-$\frac{4}{3}$t，
∴y=OB-BG=8-（8-$\frac{4}{3}$t）=$\frac{4}{3}$t．

（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$t•t=$\frac{48}{5}$，
解得t=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$（负根已经舍弃）．
②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．

作OE⊥AB于E，则OE=$\frac{OB•OA}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
由题意$\frac{1}{2}$[10-（2t-12）-（t-6）]•$\frac{24}{5}$=$\frac{48}{5}$，
解得t=8，
同法当M、N在线段AB上，相遇之后．
由题意$\frac{1}{2}$•[（2t-12）+（t-6）-10]•$\frac{24}{5}$=$\frac{48}{5}$，
解得t=$\frac{32}{3}$，
综上所述，若S=$\frac{48}{5}$，此时t的值8s或$\frac{32}{3}$s或$\frac{6\sqrt{10}}{5}$s．