Question

如图所示，已知四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=∠DCA，求证四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴∠EAC=∠ACF， ∵∠BAC=∠DCA， ∵∠ABC=∠DCA， ∴∠BAE=∠DCF． 在Rt△AEB和Rt△CFD中， ∵∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF，∠BAE=∠DCF， ∴△AEB≌△CFD， ∴AB=CD， ∵∠BAC=∠DCA， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 证法2：设AC与BD交点为O， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴∠EAC=∠ACF， 在△AOE和△COF中， ∠EAC=∠ACF，AE=CF，∠AEO=∠CFO=90°， ∴△AEO≌△CFO， ∴AO=CO，OE=OF． 在△ABE和△CDF， AE=CF，∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF， ∴BE＋OE=DF＋OF，即BO=DO， ∵AO=CO， ∴四边形ABCD是平行四边行．