题目内容
（2013•厦门）如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM=| 7 |
 |
| DE |
| ||
| 3 |
分析：过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG2+GM2=BM2，即（
a）2+（2a）2=（
）2，求得a=1，得到OF=
，再根据弧长公式求出r=
，则圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切．
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
解答：
证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM=
OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=
AB=a，BG=
AG=
a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=
a，GM=a+a=2a，BM=
，
∴BG2+GM2=BM2，即（
a）2+（2a）2=（
）2，
解得a=1，
∴OF=BG=
．
∵
的长=
=
，
∴r=
，
∴OF=r=
，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．
证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设菱形OABC的边长为2a，则AM=
| 1 |
| 2 |
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=
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| 3 |
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=
| 3 |
| 7 |
∴BG2+GM2=BM2，即（
| 3 |
| 7 |
解得a=1，
∴OF=BG=
| 3 |
∵
|
| DE |
| 60πr |
| 180 |
| ||
| 3 |
∴r=
| 3 |
∴OF=r=
| 3 |
∴直线BC与⊙O相切．
点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，弧长的计算公式，切线的判定，综合性较强，难度适中，利用菱形的性质及勾股定理求出a的值是解题的关键．
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