Question

6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E，现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

（1）①求证：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD=$\sqrt{6}$，求AD的长．
（2）如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，设$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=k，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值．
（3）如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，设CD=m，BD=n，AD=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

分析 （1）①先利用平行线分线段成比例定理得，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，进而得出结论；
②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=3k，CE=2k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出DE²=m²+$\frac{9}{25}$n²，而DE=AE=$\frac{3}{5}$p，即可得出结论；

解答 解：（1）①∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=$\sqrt{2}$AC，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，BD=$\sqrt{2}$CE，
∵BD=$\sqrt{6}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，
在Rt△CDE中，CD=1，CE=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
∴AD=$\sqrt{2}$DE=2$\sqrt{2}$，

（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{CE}{BD}$=k，
∵AD=3，BD=2，
∴AE=kAD=3k，CE=kBD=2k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=1+4k²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=9-9k²，
∴1+4k²=9-9k²，
∴k=-$\frac{2\sqrt{26}}{13}$（舍）或k=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$；

（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{CE}{BD}$=$\frac{3}{5}$
∵AD=p，BD=n，
∴AE=$\frac{3}{5}$AD=$\frac{3}{5}$p，CE=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{3}{5}$n，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE²=CD²+CE²=m²+$\frac{9}{25}$n²，
∵DE=AE=$\frac{3}{5}$p，
∴$\frac{9}{25}$p²=m²+$\frac{9}{25}$n²，
∴9p²=25m²+9n²．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用，还用到类比的方法解决问题．