题目内容
（2013•浦东新区二模）已知：如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=4，tan∠CAB=
，点O在边AC上，以点O为圆心的圆过A、B两点，点P为
上一动点．
（1）求⊙O的半径；
（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结BP，当点P是
的中点时，求△ABP的面积与△ABD的面积比＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞S△ABPS△ABD
．
| 1 |
| 2 |
 |
| AB |
（1）求⊙O的半径；
（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结BP，当点P是
|
| AB |
| S△ABP |
| S△ABD |
分析：（1）首先求出AC=2BC，再利用勾股定理OB2=OC2+BC2，求出r求出即可；
（2）首先得出Rt△OAH∽Rt△DAC，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）首先求出AQ，PQ的长，进而求出△ABP的面积与△ABD的面积比．
（2）首先得出Rt△OAH∽Rt△DAC，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）首先求出AQ，PQ的长，进而求出△ABP的面积与△ABD的面积比．
解答：
解：（1）连结OB，如图（1），
∵∠C=90°，BC=4，tan∠CAB=
，
∴tan∠CAB=
=
，
∴AC=2BC=8，
设OA=OB=r，则OC=8-r，
在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，
∴r2=（8-r）2+42，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5；
（2）作OH⊥AP，如图（1），
∴AH=PH=
x，
∵∠OAH=∠DAC，
∴Rt△OAH∽Rt△DAC，
∴OH：CD=AH：AC，
即OH：（4+y）=
x：8，
∴OH=
x（4+y），
在Rt△AOH中，OH=
=
=
，
∴
=
x（4+y），
∴y=
-4，
∵AB=
=
=4
，
∴定义域为0＜x＜4
；
（3）连结OP交AB于Q，如图（2），
∵点P是
的中点，
∴OQ垂直平分AB，
∴AQ=
AB=2
，
在Rt△OAQ中，OQ=
=
，
∴PQ=PO-OQ=5-
，
∴S△PAB=
AB•PQ=
×4
×（5-
）=10
-10，
在Rt△APQ中，AP2=PQ2+AQ2=（5-
）2+（2
）2=50-10
，
即x2=50-10
，x=
，
∴y=
-4=8
-4=8×
-4=4
，
∴
=
=
=
．
解：（1）连结OB，如图（1），∵∠C=90°，BC=4，tan∠CAB=
| 1 |
| 2 |
∴tan∠CAB=
| BC |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∴AC=2BC=8，
设OA=OB=r，则OC=8-r，
在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，
∴r2=（8-r）2+42，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5；
（2）作OH⊥AP，如图（1），
∴AH=PH=
| 1 |
| 2 |
∵∠OAH=∠DAC，
∴Rt△OAH∽Rt△DAC，
∴OH：CD=AH：AC，
即OH：（4+y）=
| 1 |
| 2 |
∴OH=
| 1 |
| 16 |
在Rt△AOH中，OH=
| OA2-AH2 |
52-
|
| 1 |
| 2 |
| 100-x2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 100-x2 |
| 1 |
| 16 |
∴y=
8
| ||
| x |
∵AB=
| AC2+BC2 |
| 82+42 |
| 5 |
∴定义域为0＜x＜4
| 5 |
（3）连结OP交AB于Q，如图（2），
∵点P是
|
| AB |
∴OQ垂直平分AB，
∴AQ=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
在Rt△OAQ中，OQ=
| AO2-AQ2 |
| 5 |
∴PQ=PO-OQ=5-
| 5 |
∴S△PAB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
在Rt△APQ中，AP2=PQ2+AQ2=（5-
| 5 |
| 5 |
| 5 |
即x2=50-10
| 5 |
50-10
|
∴y=
8
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
| 5 |
∴
| S△ABP |
| S△ABD |
| ||
|
4
| ||||
4
|
5-
| ||
| 8 |
点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理及其讨论在有关圆的几何计算中常常用到，同时勾股定理以及三角形相似的性质是几何计算常用的定理．
练习册系列答案
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