Question

6．如图所示，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长．

Answer 1

分析 在直角△ABD中，先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=$\frac{1}{2}$AD=4，再根据勾股定理求出AB=4$\sqrt{3}$，然后解等腰直角△ABC就可以求出AC的长．

解答 解：在直角△ABD中，∵∠ABD=90°，∠DAB=30°，AD=8，
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=4，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
在直角△ABC中，∵∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了勾股定理及等腰直角三角形的性质．