题目内容

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y= $数学公式$ （k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S_△OCF= $数学公式$ ，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S_△OCF= $\text{[math]}$ xy= $\text{[math]}$ ，
∴xy=2 $\text{[math]}$ ，
∴k=2 $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ （x＞0）；

（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EH= $\text{[math]}$ m，OE=2m，
∴E坐标为（m， $\text{[math]}$ m），
∵E在反比例y= $\text{[math]}$ 图象上，
∴ $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，
∴m₁= $\text{[math]}$ ，m₂=- $\text{[math]}$ （舍去），
∴OE=2 $\text{[math]}$ ，EA=4-2 $\text{[math]}$ ，EG= $\text{[math]}$ ，
∵4-2 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；

（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴BC=FB•cos∠FBC= $\text{[math]}$ x，FC=FB•sin∠FBC= $\text{[math]}$ x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4- $\text{[math]}$ x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2- $\text{[math]}$ x，
∴OE=OA-AE= $\text{[math]}$ x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB= $\text{[math]}$ x+1，EH=OE•sin∠AOB= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ x+1， $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ），F（4- $\text{[math]}$ x， $\text{[math]}$ x），
∵E、F都在双曲线y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴（ $\text{[math]}$ x+1）（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）=（4- $\text{[math]}$ x）• $\text{[math]}$ x，
解得：x₁=4，x₂= $\text{[math]}$ ，
当BF=4时，AF=0， $\text{[math]}$ 不存在，舍去；
当BF= $\text{[math]}$ 时，AF= $\text{[math]}$ ，BF：AF=1：4．
分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．