Question

3．△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，若BD等于△ABC的一边时，则tanC=$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设AD=DC=x，则AB=AC=2x，设BC=4y．作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y，由三角形中位线定理得出EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y．在直角△CDF与直角△BDF中，根据勾股定理求出DF²=CD²-FC²=x²-y²，BD²=DF²+BF²=x²-y²+（3y）²=x²+8y²．再分两种情况进行讨论：①如果BD等于腰长，根据BD=2x列出方程；②如果BD等于底边长，根据BD=4y列出方程．

解答 解：设AD=DC=x，则AB=AC=2x，设BC=4y．
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y，
∵AD=DC，DF∥AE，
∴EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y．
在直角△CDF中，∵∠CFD=90°，
∴DF²=CD²-FC²=x²-y²，
在直角△BDF中，∵∠BFD=90°，
∴BD²=DF²+BF²=x²-y²+（3y）²=x²+8y²．
分两种情况：
①如果BD等于腰，即BD=2x，
则x²+8y²=4x²，
解得x²=$\frac{8}{3}$y²，
DF²=x²-y²=$\frac{5}{3}$y²，
在直角△CDF中，tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{3}y}{y}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
②BD等于底边，即BD=4y，
则x²+8y²=16y²，
解得x²=8y²，
DF²=x²-y²=7y²，
在直角△CDF中，tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\sqrt{7}y}{y}$=$\sqrt{7}$．
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，有一定难度．准确作出辅助线构造直角三角形，利用分类讨论、数形结合是解题的关键．