Question

由下列条件解题：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知b=10，∠B=60°，求∠A，a，c．
（2）已知a=20，b=20

3

，求∠A，∠B，c．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，由∠C和∠B的度数，利用三角形的内角和定理求出∠A的度数，再由∠A为30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出a等于c的一半，设a=x，则有c=2x，由b的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出a与c的值即可；
（2）由三角形ABC为直角三角形，c为斜边，由a与b的长，利用勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数定义求出sinA和sinB的值，由A和B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠A和∠B的度数．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-（∠C+∠B）=30°，
∴a=

1

2

c，设a=x（x＞0），则c=2x，又b=10，
根据勾股定理得：a²+b²=c²，即x²+10²=（2x）²，
整理得：3x²=100，解得：x=

10 3

3

，
∴∠A=30°，a=

10 3

3

，c=

20 3

3

；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，b=20

3

，
根据勾股定理得：c=

a2+b2

=40，
∴sinA=

a

c

=

20

40

=

1

2

，sinB=

20 3

40

=

3

2

，
又∠A和∠B都为三角形的内角，
∴∠A=30°，∠B=60°．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角形的内角和定理，含30°直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．