题目内容

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB= $数学公式$ ．则正方形ABCD的面积为________．

4+ $\text{[math]}$
分析：求出△AEB≌△APD，推出∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=135°，求出EP，过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD，
求出BE= $\text{[math]}$ ，由勾股定理求出BF=EF= $\text{[math]}$ ，求出S_△APB+S_APD= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，S_△DPB= $\text{[math]}$ ×DP×BE= $\text{[math]}$ ，即可求出答案．
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，AE=AP=1，
∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠BAP=∠BAP，
∴∠EAB=∠PAD，
∵在△EAB和△PAD中
$\text{[math]}$
∴△EAB≌△PAD（SAS），
∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，
∴∠PEB=135°-45°=90°，
即△BEP是直角三角形，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理得：EP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ BE=DP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD，
则∠PEB=180°-135°=45°，
∴∠EBF=45°=∠FEB，
∴EF=BF，
∵BE= $\text{[math]}$ ，
∴由勾股定理得：BF=EF= $\text{[math]}$ ，
∴S_△APB+S_△APD=S_△APB+S_△AEB=S_{四边形AEBP}=S_△AEF+S_△PEB= $\text{[math]}$ ×1×1+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵S_△DPB= $\text{[math]}$ ×DP×BE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S正方形ABCD=2S_△ABD=2（S_△BPD+S_△APD+S_△APB）=2×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=4+ $\text{[math]}$ ，
故答案为：4+ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是分别求出△APD、△APB、△BPD的面积．