Question

如图所示，在⊙O中，半径OB⊥OE于O点，C是OE延长线上一点，过C点作CA切⊙O于A点，连接AB交OE于D点，求证：CA=CD．

Answer 1

答案：略
解析：

证法一：连接OA， ∵AC是切线， ∴∠OAC=90°，即∠OAD=∠DAC=90° ∵OB⊥OE，∴∠DOB=90°． ∴∠B＋∠ODB=90°，即∠B＋∠ADC=90°． ∴∠OAD＋∠DAC=∠B＋∠ADC． ∵OA=OB，∴∠B=∠OAD． ∴∠DAC=∠ADC，∴CA=CD． 证法二：延长BO交⊙O于F点． ∵FB是直径，∴∠FAD=90°． ∵BO⊥OE，∴∠FOD=90°．∴∠F＋∠ADO=180°， ∵∠ODA＋∠ADC=180°，∴∠F=∠ADC． ∵AC是切线， ∴∠DAC=∠F．∴∠DAC=∠ADC．∴CA=CD． 证法三：连接AE、BE． ∵AC是切线，∴∠CAE=∠DBE． ∵OB=OE且BO⊥OE，∴∠OEB=45°． ∵∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠DEB． ∵∠ADC=∠DBE＋∠DEB，且∠DAC=∠DAE＋∠EAC，∴∠ADC=∠DAC，∴CA=CD．

提示：

由于所证两条线段交于点C，且CA是切线长，CD既不是切线也不是弦，因此无法直接证明，这时只有转化关系，寻求角的关系了．考虑到存在∠BOC=90°，且∠ADC与之相关，因此只有把∠DAC也放到直角三角形中才能沟通关系；从另一个角度考虑，有切线必然存在弦切角，这时利用不同的弦切角沟通关系也可构成不同的证明方法．