Question

14．已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，进而得出四边形OADE是矩形，得出DC的长即可．

解答 解：（1）∵AM为圆O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴∠OAD=∠BDM=90°，
∴OA∥BD，
∴∠AOC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴∠AOB=120°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，
∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BE=EC=1，
∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，
∴四边形OADE是矩形，
∴DE=OA=2，
∴EC=DC=1．

点评 此题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．