题目内容
如图，
为⊙
的直径，
，
交
于点
，
，
．
(1)求证：
；
(2)求
的长；
(3)延长
到
，使得
，连接
，试判断直
线与⊙的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可
【答案】
解：(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C， …………1分
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D， …………2分
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB， …………3分
(2) ∵△ABE∽△ADB，
∴
，
…………4分
∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12 …………5分
∴AB=
．…………6分
(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA， …………7分
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴
，
BF=BO=
，…………8分
∵AB=
，
∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．…………10分
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