Question

在如图所示的直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，D为x轴上一点。连接BD交y轴于E点，且tan∠CBE=．抛物线过A、C、D三点，顶点为F．

  (1)求D点坐标；

  (2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

  (3)在直线DB上是否存在点P，使四边形PFDO为梯形?若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)∵四边形OABC是边长为2的正方形

∴BC//AD，OA=OC=AB=BC=2

∴tan∠ADB=tan∠CBE=

∴AD=6，D点坐标为(-4，0)   

(2)∵抛物线过点C(0,2)

∴c=2

由题意，得    解之，得

∴抛物线的解析式为

抛物线的顶点F坐标为(-1，)

(3)在直线DB上存在点P，使四边形PFDO为梯形  

设直线DB的解析式为，由题意，得

   解之，得

∴

①若PF//OD   当时，，即 . 

此时

所以四边形PFDO不是平行四边形，PO与FD不平行 

所以四边形PFDO是梯形

②若PO∥FD，设P点横坐标为，则纵坐标为，

过P作PG⊥x轴于G，抛物线对称轴x=-1与x轴交于K

Tan∠FDK= Tan∠POG  即    解之，得

∴

因为    所以四边形PFDO不是平行四边形，

PF、OD不平行    所以四边形PFDO是梯形 

∴在直线DB上存在点，使四边形PFDO为梯形．