Question

【题目】在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

探究：当AB=AC且C，D两点重合时（如图1）探究：

（1）线段BE与FD之间的数量关系，直接写出结果 ；

（2）∠EBF= ．

证明：当AB=AC且C，D不重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．

计算：当AB=AC时，如图，求的值 （用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）BE=FD；（2）22.5°，证明：BE=FD，见解析；计算：

【解析】

探究：（1）首先延长CA与BE交于点G，根据∠EDB=∠C，BE⊥DE，判断出BE=EG=BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=BG，可得BE=FD，据此判断即可；

（2）根据（1）的结论易求得答案；

证明：过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，仿照（1）的方法判断出△DEB≌△DEG和△GBH≌△FDH，即可推出结论；

计算：利用（2）的结论证得△GBH∽△FDH和△BHD∽△BAC，利用对应边成比例即可求得结论．

探究：（1）如图①，延长CA与BE交于点G，

∵∠EDB=∠C，

∴∠EDB =∠EDG，
即CE是∠BCG的平分线，
又∵BE⊥DE，
∴BE=EG=BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，

，

∴△ABG≌△ACF，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=BG，

∴BE=FD；

（2）∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠ACB=45，

由（1）得CE是∠BCG的平分线，且∠EBF=∠ACF，

∴∠EBF=∠ACB=；

证明：结论BE=FD．

证明如下：

如图②，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，

则∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°=∠GHB．

∵∠EDB=∠C=∠GDB=∠EDG，

在△DEB和△DEG中，

，

∴△DEB≌△DEG，

∴BE=GE=GB．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=∠GDB，

∴HB=HD．

∵∠BED=∠BHD=90°， ∠BFE=∠DFH，

∴∠EBF=∠HDF，

在△GBH和△FDH中，

，

∴△GBH≌△FDH，

∴GB=FD，

∴BE=FD；

计算：∵△DEB≌△DEG，BE=GB，∠BHD=∠BEF=90°，∠EBF=∠HDF，

∴△GBH∽△FDH，

∴，即．

又∵DG∥CA，

∴△BHD∽△BAC，

∴，即．

∴．