Question

已知α+β=1，αβ=-1．设S₁=α+β，S₂=α²+β²，S₃=α³+β³，…，S_n=αⁿ+βⁿ
（1）计算：S₁=______，S₂=______，S₃=______，S₄=______；
（2）试写出S_n-2、S_n-1、S_n三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α⁷+β⁷．

Answer 1

解：（1）∵α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
故答案为：1，3，4，7；
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
证明：∵α，β是方程x²-x-1=0的两根，
∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=+++
=+
=αⁿ+βⁿ
=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
α⁷+β⁷=S₇
=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4
=29．
分析：（1）运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．
（2）利用（1）中S₂=3，S₃=4，S₄=7，猜想S_n=S_n-1+S_n-2，然后由α，β是方程x²-x-1=0的两根，得到α²=α+1，β²=β+1进行证明．
（3）根据（2）中的猜想得到上式为S₇=S₆+S₅进行计算求出式子的值．
点评：本题考查的是整式的混合运算，（1）题运用乘法公式计算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．（2）题以（1）题结果为依据猜想S_n，S_n-1，S_n-2的关系，并根据α，β是方程x²-x-1=0的两根进行证明．（3）题利用（2）题的结论进行计算求出式子的值．