Question

15．如图，在矩形ABCD中，BC=2BA=8，将矩形ABCD沿AC所在直线翻折使△ABC与△AEC重合，连接BE，BE交AD于点F，则线段EF的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先由勾股定理求得AC的长度，然后证明△ABF∽△BCA，求得AF=2，接下来证明△ABC∽△BOC，可求得OE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，最后△AOF∽△ADC，可求得OF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，从而可求得EF的长．

解答 解：如图所示：

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
由翻折的性质可知：AC⊥BE，OB=OE，
∴∠OBC+∠BCA=90°
又∵∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠ACB．
又∵∠BAF=∠CBA=90°，
∴△ABF∽△BCA．
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AF}{4}=\frac{4}{8}$．
∴AF=2．
∵∠ABF=∠ACB，∠BOC=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△BOC．
∴.$\frac{OB}{AB}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{OB}{4}=\frac{8}{4\sqrt{5}}$．
∴OB=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴OE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∵∠OAF=∠DAC，∠AOF=∠ADC=90°，
∴△AOF∽△ADC．
∴$\frac{OF}{AF}=\frac{DC}{AC}$，$\frac{OF}{2}=\frac{4}{4\sqrt{5}}$．
∴OF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
EF=OE-OF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折变换，证得△ABF∽△BCA、△ABC∽△BOC、△AOF∽△ADC是解题的关键．