Question

【题目】如图，边长为5的正方形 的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），且与正方形外角平分线交于点．

（1）求证：；

（2）若点坐标为时，①在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

②在平面内是否存在点，使四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①存在， ，理由见解析；②存在，，理由见解析

【解析】

（1）在上截取，连结，利用正方形的性质，外角平分线和等量代换证明，即可证明；

（2）过作交于，则点即为所求，利用平行四边形和正方形的性质证明，则有，进而可求出，从而可确定M的坐标；

（3）过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K, 利用正方形的性质证明，则有进而可求，从而可确定Q的坐标．

（1）证明：在上截取，连结，

∵是正方形，

∴，

，

∴．

又，

．

，

∴．

，

，

．

∵AG平分 ,

，

，

∴，

∴，

∴；

（2）①存在点使四边形为平行四边形，

过作交于，则点即为所求，

∵是正方形，

∴．

∵四边形为平行四边形，

．

∵，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在轴上存在点，使四边形的平行四边形；

②存在点Q使四边形为正方形．

过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K,

∵四边形是正方形，

∴ ，

．

又，

．

，

，

，

，

（此时K与点B重合），

，

．