Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E.

求证：(1)△ABC是等边三角形；(2)AE=CE.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；
（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．

详解：证明：(1)如图所示，连接OD.

∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.

∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠BDO=∠A.

又由OB=OD得∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD=∠A.∴BC=AC.

又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形.

(2)连接CD，则CD⊥AB，

由(1)知AC=BC，

∴D是AB的中点.∴AD=AB.

在Rt△ADE中，∵∠A=60°，∴AE=ADcos A=AD.

∴AE=AD=AB=AC，

∴EC=3AE，∴AE=CE.