Question

2．已知如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，D是斜边AB上的一动点，联结CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，点D与点E重合，联结AE，DE，线段DE交边AC于点F．
（1）求证：AE=BD；
（2）点D在边AB上运动的过程中，△AEF是否可能为等腰三角形？若不能，请说明理由；若可能，请写出此时∠BCD的度数．

Answer 1

分析 （1）先证明AB=BC，CE=CD以及∠ACE=∠BCD，即可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）可能，若△AEF是等腰三角形，则∠ECF=∠DCB=90°-45°=45°．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，点D与点E重合，
∴CE=CD，∠DCE=90°，
∵∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，
∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：能．
由（1）可知∠EAC=∠B=45°，∠ECF=∠DCB，
∵△AEF是等腰三角形，
∴AF=EF，∠EAF=∠AEF=45°，
∴EF⊥AC，∠EFC=∠EFA=90°，
∵EC=CD，∠ECD=90°，
∴∠DEC=∠EDC=45°，
∴∠ECF=∠DCB=90°-45°=45°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD是解决问题的关键．