Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据相交弦定理推论可得出OC²=OA•OB，即可求出C点坐标．然后用待定系数法求解即可．
（2）先根据（1）的抛物线求出M的坐标，然后根据M、C的坐标用待定系数求出直线MC的解析式．
（3）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接PC，证PC是否与MC垂直即可．（本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标，然后分别求出PN，PC，CN的长，用勾股定理进行判断）．

解答：解：（1）连接PC，
∵A（-4，0），B（1，0）
∴AB=5
∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心
∴PC=PA=

5

2

，OP=4-

5

2

=

3

2

．
∴OC=

PC2-OP2

=

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=2
∴C（0，-2）．
设经过A、B、C三点的抛物线为y=a（x-1）（x+4），
∴-2=a（0-1）（0+4）
解得a=

1

2

．
∴抛物线为y=

1

2

（x-1）（x+4），
即y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）将y=

1

2

x²+

3

2

x-2配方，得y=

1

2

（x+

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点M为（-

3

2

，-

25

8

）．
设直线MC为y=kx+b，则有

-2=b - 25 8 =- 3 2 k+b

，
解得

k= 3 4 b=-2

．
∴直线MC为y=

3

4

x-2．

（3）直线MC与⊙P相切．
设MC与x轴交于点N，
在y=

3

4

x-2中，令y=0，得x=

8

3

．
∴ON=

8

3

，PN=

8

3

+

3

2

=

25

6

，CN=

ON2+OC2

=

( 8 3 )2+22

=

10

3

．
∴CN²+PC²=（

10

3

）²+（

5

2

）²=（

25

6

）²=PN²．
∴∠PCN=90度．
∴MC与⊙P相切．

点评：本题考查了二次函数、一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的判定等知识．