题目内容
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点
B左侧）．与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E．（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；
（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标；
（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积；
（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径．
分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求得点C的坐标，令y=0，可求得A、B的坐标；利用配方法将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得顶点D的坐标．
（2）易求得直线CD的解析式，利用左加右减的平移规律，可得到平移后的直线解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点F的坐标．
（3）过P作PM∥y轴交直线BF（题2平移后的直线）于M，设出点P的横坐标，根据抛物线和直线的解析式，可求得P、M的纵坐标，从而得到PM的长，以PM为底、B、F的横坐标差的绝对值为高，即可求得△BFP的面积表达式（也可由△BMP、△FMP的面积和求得），也就得到了关于△BFP的面积和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BFP的最大面积及对应的P点坐标．（也可先求得PM的最大值，然后再求出此时△BFP的最大面积）
（4）若易G、H的圆与x轴相切，那么G、H纵坐标的绝对值等于圆的半径，且圆心在抛物线的对称轴上，可用圆的半径分别表示出G、H的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得该圆的半径．（需要注意的是，在表示G、H的坐标时，要分圆心在x轴上、下方两种情况讨论．）
（2）易求得直线CD的解析式，利用左加右减的平移规律，可得到平移后的直线解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点F的坐标．
（3）过P作PM∥y轴交直线BF（题2平移后的直线）于M，设出点P的横坐标，根据抛物线和直线的解析式，可求得P、M的纵坐标，从而得到PM的长，以PM为底、B、F的横坐标差的绝对值为高，即可求得△BFP的面积表达式（也可由△BMP、△FMP的面积和求得），也就得到了关于△BFP的面积和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BFP的最大面积及对应的P点坐标．（也可先求得PM的最大值，然后再求出此时△BFP的最大面积）
（4）若易G、H的圆与x轴相切，那么G、H纵坐标的绝对值等于圆的半径，且圆心在抛物线的对称轴上，可用圆的半径分别表示出G、H的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得该圆的半径．（需要注意的是，在表示G、H的坐标时，要分圆心在x轴上、下方两种情况讨论．）
解答：解：（1）抛物线y=x2+2x-3中，x=0，则y=-3；y=0，则x=1或-3；
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴D（-1，-4）；
故A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），D（-1，-4）．（2分）
（2）∵C（0，-3），D（-1，-4），
∴直线CD：y=x-3；
将直线CD向左平移两个单位，得：
y=（x+2）-3=x-1，
此时直线经过点B（1，0）；
联立抛物线的解析式有：
，
解得
，
；
∴F（-2，-3）．（3分）
（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H．
易得F（-2，-3），直线BF解析式为y=x-1．
设P（x，x2+2x-3），则M（x，x-1），（4分）
∴PM=-x2-x+2=-（x+
）2+
；
PM的最大值是
，此时x=-
，
当PM取最大值时△PBF的面积最大，
S△PBF=S△PFM+S△PEM=
×
×3，
△PFB的面积的最大值为
，P点坐标为：（-
，-
）．
（4）如图，①当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则H（R-1，R），
代入抛物线的表达式，
解得R=
；（7分）
②当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则H（r-1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得r=
∴圆的半径为
或
．（8分）
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴D（-1，-4）；
故A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），D（-1，-4）．（2分）
（2）∵C（0，-3），D（-1，-4），
∴直线CD：y=x-3；
将直线CD向左平移两个单位，得：
y=（x+2）-3=x-1，
此时直线经过点B（1，0）；
联立抛物线的解析式有：
|
解得
|
|
∴F（-2，-3）．（3分）
（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H．
易得F（-2，-3），直线BF解析式为y=x-1．
设P（x，x2+2x-3），则M（x，x-1），（4分）
∴PM=-x2-x+2=-（x+
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
PM的最大值是
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
当PM取最大值时△PBF的面积最大，
S△PBF=S△PFM+S△PEM=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
△PFB的面积的最大值为
| 27 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
（4）如图，①当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则H（R-1，R），
代入抛物线的表达式，
解得R=
1+
| ||
| 2 |
②当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则H（r-1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得r=
-1+
| ||
| 2 |
∴圆的半径为
1+
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象的平移、图象交点坐标的求法、图形面积的求法、切线的性质等重要知识点．要注意的是（4）题中，应该考虑到在x轴的上、下方都存在符合条件的圆，一定要分类讨论，以免漏解．
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