Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k₁x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）平移一次函数y=k₁x+b的图象，当一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：

∵四边形ABCO是菱形，

∴BE=OE=OB，OB⊥AC，

∴∠AEO=90°，

∴tan∠AOB==，

∴OE=2AE，

设AE=x，则OE=2x，

根据勾股定理得：OA=x=，

∴x=1，

∴AE=1，OE=2，

∴OB=2OE=4，

∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），

把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k₁x+b得：，

解得：k₁=，b=2，

∴一次函数的解析式为：y=x+2；

∵D是OA的中点，A（﹣2，1），

∴D（﹣1，），

把点D（﹣1，）代入反比例函数y=得：k₂=﹣，

∴反比例函数的解析式为：y=﹣；

（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=x+b，

∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点，

∴方程组 无解，

即x+b=﹣无解，

整理得：x²+2bx+1=0，

∴△=（2b）²﹣4×1×1＜0，b²＜1，

解得：﹣1＜b＜1，

∴当一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，b的取值范围是﹣1＜b＜1．